ローレンツ変換係数の求め方

◎　ガリレオ変換（絶対時間）
　等速で運動する座標系を、他の座標系から見たときに表現するための式を求めます。最初にこうした相対的原理をまとめ上げたのはガリレオ・ガリレイです。

　ただし当然ながら、その時代には時間の相対性というような発想はありません。どちらの系から見ても時間の進み方は、もちろん同じと信じられていました。ですから数式上でも、ｔは共通変数として扱います。

　ある慣性系に観測者Ａさんが静止しています。この人から見た座標系を Ｓ系 とします。原点はＯ点で、ある点Ｐの座標値は Ｘ,Ｙ,Ｚ、時刻はｔで表されます。
　いま、原点Ｏをスタートし、Ｘ軸正の方向に向かって速さＶで走っている観測者Ｂさんを考えます。この人から見た座標系を Ｓ’系 と呼びましょう。この座標系における座標値は Ｘ' ,Ｙ' ,Ｚ'、時刻はｔ'で表します。

　しかし座標系が変わろうとも時間は「当然」両者共通なのですから
　ｔ'＝ｔ　　　　　　　　　………………　�@
です。時間ｔが経過したとき観測者Ｂから見た点Ｐを表現したとすると上図からわかるとおり、
　Ｘ'＝Ｘ−Ｖｔ　　　　　　………………　�A
　Ｙ'＝Ｙ　　　　　　　　　………………　�B
　Ｚ'＝Ｚ　　　　　　　　　………………　�C
となりますよね。この関係を「ガリレオ変換」と言います。

　この式を使って座標変換をしてやりさえすれば、等速運動をしているどの空間であっても、全ての物理現象は同じ考え方で表すことが出来るというわけです。
　私たちが高校で習った全ての力学（ニュートン力学）はこの変換を基にして成り立っていたのです。�A式は、物理の教科書の一番最初に出てくる公式です。

◎　ローレンツ変換（絶対光速）
　しかしアインシュタインがこだわったのは、はたしてｔを共通変数にしても良いのかということでした。代わりに彼は、光の速さＣを共通定数だと仮定して、この相対的原理を考え直してみたわけです。

　まず観測者Ａさんの慣性系 Ｓ系 において考えます。いま時刻 0 に座標系の原点Ｏから光が放出されたとします。
　時間ｔ後には光は原点を中心とする半径 ｒ＝Ｃｔ の球面に達しますね。その球面の方程式は、本来は
　ｒ²＝Ｘ²＋Ｙ²＋Ｚ²＝(Ｃｔ) ²
なのですが、簡単のために、Ｙ＝Ｚ＝0 の線上のみを考えていきましょう。そうすると
　Ｘ²＝(Ｃｔ)²
と書けます。つまり、光がＸ方向にのみ走ったと考えれば良いんですよ。

　原点Ｏをスタートし、Ｘ軸正の方向に速さＶで走っている観測者Ｂさんを考えます。今度はガリレオ変換のときとは違い、
　ｔ'＝ｔ
という前提は置かずに、代わりに光速は両座標系で共通とするわけです。

　Ｂさんから見た座標系 Ｓ'系 での球面の方程式は
　Ｘ'²＝(Ｃｔ')²
です。ここでガリレオ変換
　Ｘ'＝Ｘ−Ｖｔ
およびその逆変換（ＸをＸ'で表す）
　Ｘ＝Ｘ'＋Ｖｔ
において拡張係数を α として
　Ｘ'＝α(Ｘ−Ｖｔ) 　　　　　　 ……………… �D
　Ｘ＝α(Ｘ'＋Ｖｔ) 　　　　　　 ……………… �E
であると仮定しますと、光速度は一定なのだから、Ｓ，Ｓ'系で光は
　Ｘ＝Ｃｔ　　　　　　　　　　　 ……………… �F
　Ｘ'＝Ｃｔ' 　　　　　　　　　　……………… �G
に達していることになります。

　�E 式に �F �G 式を代入すると
　Ｃ²＝αＸ'(Ｃ＋Ｖ)
を得ます。これに �D 式を入れると
　Ｃ²＝α² (Ｃ²−Ｖ²)
となりますから、ローレンツ変換の係数

が求められるんです。

「なっとくする相対性理論」 松田卓也　二間瀬敏史　講談社　より